Phinärtakt

Was, wenn man die Notenlängen in der Musik nicht in rationalen Verhältnissen teilen würde, sondern im goldenen Schnitt? Wenn man also, statt Noten zu halbieren und zu vierteln, sie im Verhältnis 1:φ teilte, wobei φ=1,6180339887... ist?

Auf der Basis von φ lässt sich ein Stellenwertsystem aufbauen, in dem auch die ganzen Zahlen vorkommen:

• 1 = φ⁰ = 1_φ
• 2 = φ¹ + φ^-2 = 10,01_φ
• 3 = φ² + φ^-2 = 100,01_φ
• 4 = φ² + φ⁰ + φ^-2 = 101,01_φ
• ...

Deswegen müssen wir bei dieser Art, Notenlängen zu unterteilen, nicht auf gleich lange Takte verzichten, können aber die Takte selbst jeweils im Verhältnis des goldenen Schnittes unterteilen (und vielleicht auch ab und zu mal einen Takt einstreuen, der um den Faktor φ länger oder kürzer ist). Ich habe mal die minimalen Phinärdarstellungen (das heißt: die, bei denen keine zwei Einsen nebeneinander vorkommen) der ersten paar natürlichen Zahlen in Tonfolgen umgewandelt, die dann alle parallel abgespielt werden:
(mp3, wav)
Jede Zahl besteht aus Tönen für die Einsen der Phinärdarstellung, deren Höhe sich, wenn ich mich recht erinnere, aus dem Stellenwert berechnet. Die Länge der vorhergehenden Pause ist proportional zum Stellenwert. Die Längen sind absteigend geordnet, das heißt zuerst kommen die großen φ-Potenzen in großem Abstand und dann zum Ende hin ganz schnell hintereinander die Nachkommastellen. Das führt zu den regelmäßigen Tonhäufungen, jeweils eine pro natürlicher Zahl.

Etwas weniger sytematisch ist das folgende kleine Stück entstanden:
(mp3, wav)
Hier habe ich eine Melodie auf zwei gleich lange Takte verteilt, die jeweils wiederholt im Verhältnis 1:φ oder φ:1 unterteilt sind. Die Noten haben dabei alle Längen proportional zu φ-Potenzen.

Eine ständig schneller (oder langsamer) werdende Folge von Tönen, bei der jeder Ton um den Faktor φ kürzer (oder länger) ist als der vorhergehende, passt auch in dieses Längenschema, denn φ⁰ + φ^-1 + φ^-2 + φ^-3 + φ^-4 + ...= φ². Daher die folgende Melodie, bestehend aus drei Takten, von denen der erste und der letzte gleich lang sind und eine sich beschleunigende bzw. verlangsamende Tonfolge enthalten, während der mittlere Takt um den Faktor φ kürzer ist und ein Zwischenspiel beinhaltet:
(mp3, wav)